繰り返しますが、手をつけてから考えてみましょう

【問題】

自然数a,bはどちらも3で割り切れないが、a^3＋b^3は81で割り切れる。このようなa,bのうち、a^2＋b^2の値を最小にするものと、そのときのa^2＋b^2の値を求めよ

2014年京大

【解答】

さてさて、何を言っているのか分かったような、分らないような問題ですね。
そんなときには、できること、分かることから書き上げてみましょう。
そうしてから考え始めるのが得策です。

まず、81について・・

$$81＝3^4$$

つぎに、a^3＋b^3について・・

$$a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

それから、つぎに言えそうなのは・・・
aは3の倍数でないのですから、n、mを自然数として、次のように記すことができます。

$$a=3n+1$$

あるいは
$$a=3n+2$$

同様に考えてbは、

$$b=3m+1$$

あるいは
$$b=3m+2$$

です。
なお、aとbは、それぞれ独立した（別々の）数ですから、nとmできちんと分けておきましょう。

ここで・・

1）a=3n+1、b=3m+1のとき・・（要はa、bともに3で割ると1余る数の場合です）

$$a+b=3(n+m)+2$$

⇒これは3p+2と記すことができます。pは自然数です。

$$a^2-ab+b^2=9n^2+9m^2+6n+6m-9mn-3(m+n)+1$$

⇒これは、3q+1と記すことができます。qは自然数です。

従い、a=3n+1、b=3m+1のとき、a^3＋b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2)は、

$$a^3+b^3＝(3p+2)(3q+1)=9pq+3p+6q+2$$

となり、右辺は3で割ると2あまる数であることを示しています。
ところが、問題にあるように左辺のa^3＋b^3は81の倍数ですから、これは3で割り切れる数です。
ということは、a=3n+1、b=3m+1は本問の条件に合わない、ということを示しています。

2）a=3n+2、b=3m+2のとき・・（こんどは、aもbも3で割ると2余る数の場合です）

1）と同様にかんがえていくと、最終的に

$$a^3+b^3＝(3p+1)(3q+1)=9pq+3p+3q+1$$

を得ます。そうですね、右辺は3で割ると1余るということを示しています。一方、左辺は81の倍数で3で割り切れる数です。これが等しいわけはありませんね。よってa=3n+2、b=3m+2は本問の条件に合わないことが分ります。

3）a=3n+1、b=3m+2のとき・・（aは3で割ると1余り、bは3で割ると2余る数の場合です。対称式なのでa=3n+2、b=3m+1であっても意味するところは同じです）

$$a+b=3(n+m+1)$$

⇒3pと記すことができる。

$$a^2-ab+b^2=9n^2+9m^2+9m-9mn+3$$

⇒3qと記すことができる。

よって、

$$a^3+b^3＝3p×3q$$

これならば、両辺ともに9の倍数であり得るので、問題の条件に合致します。

 

ここであらためて、

$$a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

に、3）で導いた条件を代入してみましょう。
左辺、a^3＋b^3は81で割り切れるのですから、81の倍数であり81Kと記すことができます。Kは自然数です。
右辺に3）で求めたa、bの条件を使用します。すると・・

$$81K=3(n+m+1)×3(3n^2+3m^2-3mn+3m+1)$$

$$9K=(n+m+1)(3n^2+3m^2-3mn+3m+1)$$

さて、このとき右辺の(3n^2+3m^2-3mn+3m+1)は、3で割ると1余る数ですから3の倍数ではありません。その思いをもって左辺と比べてみてください。
そうですね、(n+m+1)が9に等しいことが分ります。

$$n+m+1=9$$

つまり、

$$n+m=8$$

です。

n+mが8になる組み合わせは以下の通りです。
n、mが分かるとa、bも導くことができます。
すべて調べてみると・・

a^2＋b^2を最小にするのは、a=13、b=14のときで、このときa^2＋b^2の値は365。対称式であることから、a=14、b=13のときも同様に最小値365をとる。

これが解答になります。

出来ることから手をつけて、順番に考えていけば、いわゆる難関大学の問題でも解くことが可能です。なにしろ、手を動かして考えてみることが大事ですね。