ほんまち数学塾は豊岡市出石町にあります。個別～少人数制です。数学が苦手な子どもたちから大学入試対策まで。
深夜、私は机の前で、インターネットの海から拾い上げたひとつの数式を眺めていた。
それは、ある数学の問題だった。
\(x>0,\ y>0\) のとき、
$$
\frac{x^2+xy}{x^2+y^2}
$$
の最大値を求めよ。
一見して、少しばかり厄介なものに思えた。
変数が二つあるのだ。\(x\) と \(y\)。
それらは互いに独立して、好き勝手に動き回るように見える。分子も分母も、その動きに合わせて大きくなったり小さくなったりする。
何から手をつければよいのだろう。
しばらくの間、私はただ式を静かに眺めていた。
方程式は二つしかない。
連立方程式になっている。
①式はこれ
\[
x^2+y^2+z^2=36
\]
②式はこれ
\[
2x+y+2z=18
\]
未知数は、\(x,y,z\) の三つであり、いずれも実数だという。
この時点で、少し嫌な感じがする。
「未知数が三つなら、方程式も三つ必要だ」
と知っている中高生ほど、ここで身構える。
一方で、まだそれを知らない生徒は、ただ手を動かす。
どこへたどり着くのだろうか。
どこかで、「思考」を問われる場面があるはずだ。
その瞬間を探してみよう。
かつて、一人の塾生が問題を持ってきたことがあった。
「この問題が分かりません」と。
\(0≦x≦2πにおいて、\)
\(y=x-2sin xの最大値・最小値を求めよ\)
という問題だった。
“微分の前にあるもの” の続きを読む
二次関数の最大値・最小値を求めてみよう。
微分を習う前なら、あるいはそのあとでも、王道は平方完成であろう。
具体例があった方が分かりやすい。
問題を用意してみた。
xの関数、y=3x²-x+2 の最大値、最小値を求めよ。
“二乗のかたちを作る喜びについて” の続きを読む
机の上に、一枚の正方形がある。
いや、正確には、これから描こうとしている正方形である。
面積2平方センチメートルの正方形を描きたいと思う。
さて、この正方形の一辺は何センチメートルだろう。
「√2を求めなさい」と書かれると、急に数学らしい顔になる。
けれど、
「面積2の正方形の一辺は何センチメートルですか」
と聞かれると、話は少し違ってくる。
紙の上に描けそうな気がする。
定規で測れそうな気もする。
どこか遠い数学の国の話ではなく、机の上に置ける話になる。
だから、一度描いてみてほしい。
前回の記事の終わりで、私はこんなことを書いた。
「この文章には一つ嘘が混じっている」と。
だが、本当は少し違っていた。嘘は一つではなかったのである。
もっとも、嘘と言ってしまうのは少し気が引ける。正確さを少し後回しにして、まず景色を見てもらいたかっただけなのだ。
今日は、その続きを歩いてみたい。
平方根。
改めて口にしてみると、どこか奇妙な響きを持つ言葉だ。おそらく、初めて教科書でこの文字を見た中学生の多くは、心の中で小さく首を傾げるのではないか。
「なんで、こんな変な名前なのだろう」と。
それも無理のないことだと思う。
算数から数学へと至る道すがら、彼らは多くの言葉に出会ってきた。足し算、引き算、分数、あるいは比例。それらはどれも、名前を聞けばなんとなく意味の想像がつくものだった。 しかし、平方根はどうだ。
文字をそのまま受け止めれば、「四角い、根っこ」ということになってしまう。数字の話をしているはずなのに、なぜか植物の生々しい器官が頭をよぎる。これでは意味が分からないのも当然だ。
だが、ここで少し立ち止まってみたい。
“平方根という、不思議な名前について” の続きを読む
第1章 円卓は回っても、人間関係は回らない
円卓は回る。しかし、何が回っているのだろう。
高校生四人が放課後、ファミリーレストランに入った。
案内されたのは丸いテーブルだった。
席に着くなり、A君が言う。
「この席、いいな」
理由を聞くと、左になんとなく思いを寄せる女の子がいて、右にも気心の知れた友人がいるからだという。
そのとき店員さんがやって来て、テーブルを少し回したとする。
すると、見えている景色は変わる。窓の位置も変わるし、店内の見え方も変わる。
けれどA君は困らない。
左には相変わらず「あの人」がいて、右にも同じ友人がいる。
その関係は何も変わっていないからだ。
数学の問題を解くとき、私たちはしばしば「計算」よりも大切な「視点」に出会うことがあります。
まずは、次の問題を一緒に考えてみましょう。高校数学の教科書でもおなじみの、シンプルですが奥の深い問いです。
【問題】立方体の6つの面に、それぞれ異なる6色を塗る方法は何通りあるか？
（ただし、回転させて同じになるものは1通りとみなす）
この問題、あなたならどう解きますか？ 多くの初学者が頭を悩ませるこの「立方体の塗り分け」について、今回はある美しい解法で紐解いてみましょう。
“宇宙に浮かぶ立方体を「止める」方法” の続きを読む
スマホの画面が、夕暮れのキッチンでぽっと光る。
「念願の100点が取れたようです！！」
S君のお母さんからの弾んだ文字が、ラインメッセージのなかに躍っていました。