x=（1+√5）/2 とするとき、x^12 の値を求めよ
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— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2019年7月12日
こちらから問題をお借りしました。
【解答】
$$x=\frac{1+√5}{2}$$より
$$√5=2x-1$$
$$5=4x^2-4x+1$$
$$4x^2-4x-4=0$$
$$x^2-x-1=0$$
と導けば、x=（1+√5）/2 が、二次方程式 x^2-x-1=0 の解（の1つ）であることがわかります。
次にx^12をx^2-x-1で割ってやると・・
$$x^{12}=(x^2-x-1)Q(x)+144x+89$$
を得ます。
Q(x)のところは、頑張って整式の割り算を行ってください。途中から規則性に気付くはずなので、面倒かもしれませんが難しくはありません。
そして、この考え方で大事な「あまり」を求めます。
なぜ、この場合、商であるQ(x)ではなく、あまりが大切なのでしょう？
それは、xに（1+√5）/2を代入してやると、(x^2-x-1)が0となるから、です。
Q(x)の値がどうなるのであれ、掛けあう相手が0ですから、その積は0になります。
そんなわけで、あまりの144x+89が大切で、そこのxに指定の値を代入して計算してやればよい、ということになるのです。計算は1次で済みます。
$$x=\frac{1+√5}{2} のとき$$
$$x^{12}=144\times\frac{1+√5}{2}+89$$
$$=72+72√5+89$$
$$=161+72√5$$
と、解くこともできますが、実はQ(x)を計算していくところは、バカ丁寧にやるとかなり面倒です。だったらむしろ、普通に計算してもいいんじゃないだろうか？というのも有力な考えです。
すなわち・・
$$x^{12}=(x^3)^2× (x^3)^2 $$
まずx^3の値を求めましょう。
$$x^3=\frac{1}{8}(1+√5)^3$$
$$=\frac{1}{8}(16+8√5)=2+√5$$
次にx^6の値を求めると・・
$$x^6=(2+√5)^2=9+4√5$$
最後にx^12の値を求めます。
$$x^{12}=(9+4√5)^2=161+72√5$$
うーん、こっちのほうが簡単ですね、たぶん。
