例えば、[35]＝3+5＝8、[602]＝6+0+2＝8です。
次の問いに答えなさい。
（1） [1192] を求めなさい。
（2） A+[A]＝100 にあてはまる数Aを求めなさい。
（3） B+[B]＝2014 にあてはまる数Bをすべて求めなさい。
2014 鎌倉学園入試より
【解答】
（1）
[1192]＝1+1+9+2＝13
これは素直にルールにのっとて計算すれば良いだけですね。
（2）
整数Aによって、A+[A]がどのようになるのか、イメージをつかむために、試算してみましょう。
A＝10のとき A+[A]＝10+1+0＝11
A＝99のとき A+[A]＝99+9+9＝117
なんとなくAを2桁の数字としましたが、こんな感じの計算になります。
A＝99が求める答に近いので、あたりをつけて、A＝80あたりで試算してみます。
A＝80のとき A+[A]＝80+8+0＝88
Aはもう少し大きな数字のようです。
A＝85のとき A+[A]＝85+8+5＝98
惜しい！もう少し大きな数字を入れてみます。
A＝86のとき A+[A]＝86+8+6＝100
できました！
Aは86 です。これが答になります。
（3）
（2）のA+[A]＝100に比べて、今度はB+[B]＝2014とより大きな数が対象です。（2）のようにあたりをつけるやり方では、少々手間がかかりそうですね。それによく問題を読むと、「数Bをすべて求めなさい」とありますから、答となるBはいくつかあるようです。あたり作戦では、解けないことはないにしても苦戦は必至です。
そこで一般化を図ってみましょう。文字式を使うやり方ですね。
まず数Bを2桁の数としてみましょう。あ、この2桁というのには根拠はないので、あたり作戦です。あしからず。
さて、数Bが仮に15であれば、これは1×10+5と表すことができます。37であれば、3×10+7。
そこで、見た目がcd（シーじゅうディー）という形をしている2桁の数を
c×10+d
と記します。
すると、
B+[B]＝10c+d+c+d＝11c+2d
と表せます。
次に考えることは、方程式になるのですが・・
11c+2d＝2014
となる、cとdを求めることになります。
未知数が2つある（cとd）にもかかわらず、方程式は1つしか立てられません。
これでは、方程式を解くことはできませんね（未知数の数と同じ数だけ方程式が必要です）。
ただし、今回の問題では、cは1~9の整数、dは0~9の整数であることが条件に使えますから、この条件を使えば、cとdの値を求めることができるかもしれません。・・・が、残念。11c+2dの最大値はc＝9、d＝9のときで、117にしかなりません。
c＝9、d＝9 すなわちB＝99のとき
99+[99]＝99+9+9＝117
2桁ではダメでした。ではBが3桁ならどうでしょう。
このときBの見た目はbcdという形をしているとして・・・。
B+[B]＝100b+10c+d+b+c+d＝101b+11c+2d
となります。今度は先に3桁の場合のB+[B]の最大値を求めておきましょう。
b＝9、c＝9、d＝9 すなわちB＝999のとき
999+[999]＝999+9+9+9＝1026
Bを3桁とあたりをつけましたが、それでもB+[B]の最大値は1026にしかならず、目標の2014に届きません。
4桁ならどうでしょう・・。
4桁の数Bの見た目はabcdという形をしています。
B+[B]＝1000a+100b+10c+d+a+b+c+d＝1001a+101b+11c+2d
となります。4桁の場合のB+[B]の最大値は
a＝9、b＝9、c＝9、d＝9 すなわちB＝9999のとき
9999+[9999]＝9999+9+9+9+9＝10035
やっと目標である2014よりも大きな数字を得ることができました。
Bは4桁の数であることが、これで確かになりました。
では、あらためて式にしてみます。
1001a+101b+11c+2d＝2014
すでに述べたように、aは1～9。b、ｃ、ｄは0～9の整数として、この方程式を解いていきます。
aが1か2であることは自明ですので説明は省きまして、a＝2の場合から検証します。
a＝2のとき
1001×2+101b+11c+2d＝2014
101b+11c+2d＝12
bは0以外の値をとることができません。
ですから
11c+2d＝12
を考えます。c＝1では、dが条件にあいません。
c＝0のとき、d＝6は条件を満たします。
cが2以上になることは・・、ありませんね。
したがって、a＝2のとき
b＝0
c＝0
d＝6
よって、答の1つめは2006です。検算はおまかせします。
次に、a＝1のときを調べます。
1001×1+101b+11c+2d＝2014
101b+11c+2d＝1013
Bが3桁のときのB+[B]の最大値は1026でしたから、bが大きな数字の場合を調べた方がよさそうです。
b＝9のとき
101×9+11c+2d＝1013
11c+2d＝104
c＝9ではdが条件に合いません。
c＝8のとき、d＝8で、これは条件に合致します。
c＝7のとき
2d＝104-77＝27
d＝13.5
dは条件に合いませんし、cがこれ以上小さくなると、dが0～9という条件を満たせなくなることもわかります。
よって、a＝1のとき
b＝9
c＝8
d＝8
調べるべき候補は、これですべて調べたことになります
まとめると・・
答 Bは2006、1988
