【問題】
実数ｐ、ｑ、ｒに対して、x の3次多項式f(x)=x^3+px^2+qx+r
を考える。以下の問いに答えなさい。
(1) 複素数αに対して、f(α)=0
であるなら、f(\overline{α})=0
であることを示しなさい。ただし、\overline{α}
はαの共役複素数である。つまり、αの実部、虚部を各々s、tとすれば、α＝s+ti , \overline{α}=s-ti
である。 ただし、iは虚数単位である。
2017 兵庫県立大学入試より抜粋
【解答】
f(α)=f(s+ti)=(s+ti)^3+p(s+ti)^2+q(s+ti)+r
複素数解αを例示にならってs+tiと記しています。
これを素直にf(x)に代入してやると、右辺の式を得ます。
さらに計算を進めても良いのですが、その結果は、
S+Ti
という、実部と虚部をもった複素数になるはずです。
そうでありながら、f(α)=0だというのですから、
S=T=０になっているはずです。
で、あるならば・・S+Ti=S-Ti=0ですから・・・
f(α)=α^3+pα^2+qα+r＝\overline{α^3+pα^2+qα+r}
p、q、rが実数なので、
\overline{α^3+pα^2+qα+r}=\overline{α}^3+p\overline{α}^2+q\overline{α}+r
\overline{α}^3+p\overline{α}^2+q\overline{α}+r=f(\overline{α})
f(\overline{α})=0
これにて、証明は終わりです。
この解法から容易に想像がつきますが、
『実係数のn次方程式は、もし複素数解をもつのであれば、その共役複素数もまた解となる』ということを示していますし、奇数次の方程式においては、虚根をもてば、それが1個だけではありえない以上、虚根の数は偶数個あることになり、ゆえに実根が少なくとも1つあるということも示しています。