2014のすべての約数の和を求めなさい
2014 穎明館中入試より
【解答】
なにはともあれ、2014の約数を求めることから始めましょう。
2014を素因数分解します。
2014＝2×19×53
19を見つけ出すまでに苦労しますが、これは仕方がありません。
幸いなことに見つけてしまえば、2014の素因数は3つでした。
これから約数を挙げていきます。
1、2、19、38、53、106、1007、2014
約数を8つ挙げることができます。
果たしてこれで全部でしょうか？
表を作って確認してみます。
| $$\underline{53^0の場合}$$ | $$19^0$$ | $$19^1$$ |
| $$2^0$$ | $$1$$ | $$19$$ |
| $$2^1$$ | $$2$$ | $$38$$ |
| $$\underline{53^1の場合}$$ | $$19^0$$ | $$19^1$$ |
| $$2^0$$ | $$53$$ | $$1007$$ |
| $$2^1$$ | $$106$$ | $$2014$$ |
素因数の組み合わせは、この8通りですべてであることが分ります。
ですから
1、2、19、38、53、106、1007、2014
を全て足し合わせてやると、解答を得ます。
1+2+19+38+53+106+1007+2014＝3240
これが答です。
ところで、この式は・・
2^0×19^0×53^0 +2^1×19^0×53^0
+2^0×19^1×53^0 +2^1×19^1×53^0
+2^0×19^0×53^1 +2^1×19^0×53^1
+2^0×19^1×53^1 +2^1×19^1×53^1
という形になっています。
これを変形してやると・・・
（2^0+2^1）×（19^0+19^1）×（53^0+53^1）
という式が導けます。分配法則の逆を使った因数分解ですね。
計算してみましょう。
（2^0+2^1）×（19^0+19^1）×（53^0+53^1）
＝（1+2）×（1+19）×（1+53）
＝3×20×54
＝3240
一般にある整数nが
$$n＝p^a×q^b×r^c×・・・$$
と素因数分解できるとき、約数の和Snは、
$$Sn＝(1+p+p^2+・・+p^a)×(1+q+q^2+・・+q^b)×(1+r+r^2+・・+r^c)×・・・$$
となります。
整数nを6、7、8、16、18 などと簡単な数に置いてみて、その素因数分解の結果と約数の足し算をじっくり調べてみると、証明はできないまでも、こんな風になりそうだな、と見つけることができます。いわば、自分だけのとりあえず公式です。
例えば、今回の例題に、374なら？518なら？10024なら？と類題が続いていたりしたら、この自分だけ公式を使わない手はないでしょう。態度として数学的な是非は問われそうですが、試験など限られた時間で解かねばならないとなれば・・、と思う次第です。
※上記の公式は証明済みのものです。
※とりあえず公式で試験はしのいだとしても、時間が出来たときに本来の是非は確認するようにしましょう。
