名人戦も第2戦。そんなわけで整数問題をもうひとつ

将棋の名人戦の第2局が行われています。
そんなわけで、前回に引き続き整数問題を採り上げます。
Twitterの「整数問題bot」さんから流れてきた問題です。
2015年の九州大学の問題のようです。

p、qを異なる素数とする。 $$2^{p-1}-1=pq^{2}$$ を満たすp、qの組を全て求めよ。 2015年 九州大学

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