将棋の名人戦の第2局が行われています。
そんなわけで、前回に引き続き整数問題を採り上げます。
Twitterの「整数問題bot」さんから流れてきた問題です。
2015年の九州大学の問題のようです。
【解答】
左辺は、[2の倍数]-1であるので、奇数である。
pが偶数、すなわちp=2のとき、与式は
$$2^{2-1}-1=2q^{2}$$
$$1=2q^{2}$$
となり、qは素数とならず、ｐは2でない。
qが偶数、すなわちq=2のとき、与式は
$$2^{p-1}-1=4p$$
となり、左辺は奇数、右辺は偶数となるから、qは2でない。
したがって、ｐ、qは、ともに奇数の素数である。
左辺について、pが奇数（の素数）であることから、これをp=2n+1とおくと、
$$2^{p-1}-1=2^{2n}-1$$
$$2^{2n}-1=(2^{n}+1)(2^{n}-1)$$
となる。
この変形により、
$$(2^{n}+1)(2^{n}-1)=pq^{2}$$
を得る。
考えやすくするために、いま整数Nが・・
$$N=(2^{n}+1)(2^{n}-1)=pq^{2}$$
という整数だと考えてみると・・
Nは、差が2である2つの奇数の積である。
また、Nを素因数分解すると、p×q^2となる。
したがい、Nの約数は、1、p、q、pq、q^2、pq^2である。
このことから、次の3つのパターンが考えられる。
$$|pq^{2}-1|=2…①$$
$$|pq-q|=2…②$$
$$|p-q^{2}|=2…③$$
①の場合、
$$pq^{2}=3、-1$$
で、ｐ、qは題意をみたさない。
②の場合、
$$(p-1)=±\frac{2}{q}$$
で、ｐ、qは題意をみたさない。
③の場合、
$$p=q^{2}+2$$ からは、p=11、q=3が成立。もっともこれは与式には当てはまらないが、ほかにあるかもしれない。
$$q^{2}=p+2$$ からは、p=7、q=3が成立。与式も満たす組み合わせだが、さらにあるかもしれない。
したがって、③の場合にのみ、解となるｐ、qの組み合わせが存在する。
すなわち・・
$$(2^{n}+1,2^{n}-1)=(p,q^{2}) or (q^{2},p)$$
まず、2^n+1=pのとき、p=2n+1だから・・（そもそも、そうおいたのだから）
$$2^{n}+1=2n+1$$
$$2^{n}=2n$$
よって、n=1,2。
n=1のとき、p=3。このとき与式の関係から、q=±1。
このqは素数ではないので、題意を満たさない。
n=2のとき、p=5。このとき与式の関係から、q=±√3
このqは素数ではないので、題意を満たさない。
次に、まず、2^n-1=pのとき、p=2n+1だから・・
$$2^{n}-1=2n+1$$
$$2^{n}=2(n+1)$$
$$2^{n-1}=n+1$$
$$2^{n-1}-n-1=0$$
n=3のみが成立する。
n=3のとき、p=7。このとき与式の関係から、q=±3
このうちの、q=3のみが題意を満たす。
以上から、題意を満たすｐ、qの組み合わせは、
p=7
q=3
である。
