【問題】2次方程式 x²－ax＋b＝0 の解がすべて正の整数となるとき、a,bが満たすべき条件を求めよ
2014年滋賀県立大
【解答】
f(x)= x²－ax＋b とおいて、グラフを書いて考えてみると分かりやすいでしょう。
$$f(x)= x²－ax＋b=(x-\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{4}+b$$
この変換をもとにグラフを描いてやると・・
まず軸が正の側になければいけませんから・・
$$x=\frac{a}{2}＞0$$ から、
$$a＞0$$を得ます。
また、グラフは下に凸であることから、
$$f(0)>0$$ であり、
すなわち
$$b＞0$$を得ます。
それから、この2次方程式が実数解をもつ必要があるので、
$$a^2-4b≧0$$ である必要があり、これを√から整数として取り出すには、
さらに$$a^2-4b=N^2 Nは整数$$ のように平方数である必要があります。
はたして、これだけでしょうか・・・？？
グラフをしっかり描けば気づくことができるはずですが、このグラフの軸は、
$$x=\frac{a}{2}≧1$$ である必要があります。
なぜ？ 一番小さい正の整数解が1だからです。
よって、
$$a≧2$$ とaの範囲を更新することができます。
まとめると・・
$$a≧2$$
$$b＞0$$
$$a^2-4b≧0$$
$$a^2-4b=N^2 Nは整数$$
