【問題】
x＞0のとき、x+9/（ｘ+2） の最小値を求めよ。
【解答】
微分法を覚えてしまうと、それを使うのが簡単そうです。
分かりみが早い、という感じでしょうか・・。
与式をf(x)とおきます。
f(x)=x+9/（ｘ+2）
これを微分すると・・
f'(x)=1-9/｛(x+2)^2}
f'(x)=0を解くと・・
9/｛(x+2)^2}=1
9=(x+2)^2
x+2＝±3
∴x=1,-5
ただしx＞0より、
x=1 を得ます。
増減表にしてみます。
| x | （0） | … | 1 | … |
| f'(x) | （-5/4） | － | 0 | ＋ |
| f(x) | （9/2） | ↓ | 4 | ↑ |
x＞0の範囲で、x=1のとき最小値4をとる。
・・となります。
で、この問題、微分法に拠らず解くとなると、相加平均・相乗平均の特性を利用して解くことを考えそうです。
a＞0、b＞0 のとき、 a+b≧2√（ab） というやつですね。
これをこの問いに素直に適用すると・・
x+9/（ｘ+2） ≧2√{ ｘ・ 9/（ｘ+2） }
となるわけですが・・ ｘ・ 9/（ｘ+2） のところがすっきりしません。というよりも、何の意味もなしていないような・・。
困りました。・・・。
よく式の形を見てみましょう。
・・こうだったら良いのになぁ、と思える箇所はないですか？
！ ｘ・ 9/（ｘ+2） のxがx+2だったら良いのに、と思いませんか？
そんな都合よく考えて・・、と否定しないでください。
とりあえず都合よく考えてみる、というのは大事な姿勢です。
やってみましょう。xがx+2だったらバージョンです。
問題はこう書き換えられます。
x＞0のとき、（x+2）+9/（ｘ+2） の最小値を求めよ。
これならば・・
（x+2）+9/（ｘ+2） ≧2√{ (ｘ+2)・ 9/（ｘ+2)}＝6
すなわち、 （x+2）+9/（ｘ+2） ≧6 です。
等号成立は （x+2） =9/（ｘ+2）のとき、すなわちx＝1のとき（x＞0）です。
ところで、この式、問題のそれと比べて何が違うのか？
そう、左辺に+2されているところが違います。
ですので、ここでつじつまを合わせましょう。
両辺から2を引きます。すると・・
x+9/（ｘ+2） ≧6-2＝4
そう、与式の最小値は4だと求めることができたのでした。
等号成立は、x=1の時となります。
都合よく考えて、あとでつじつまを合わせる・・
良いのかなぁ、と思いがちですが、つじつまが合うのならOK。
