素因数分解せよ、ただしとても大きな数だけどね

当塾に通ってくれている生徒さんが、私に「解いてみて～」と出してくれた問題です。
「ふふふ、解けるのかな？？」という香りを漂わせつつ・・。

533333333を因数分解せよ

というのがその問題です。

大きな数です。五億三千・・となっています。
とりあえずこれを割り切ってくれそうな素数、13や17あたりで試してみると（定番のお試しですね）、実は割り切れます。したがって、13も17も533333333の因数です。

因数ではあるのですが、

$$533333333=13×17×2413273$$

であり、2413273を素因数分解するという課題が残ります。

あたりをつけてパワープレイでも解けるのですが（じつはそれも試して解いてはみました）・・

ここはひとつ、もう少しかっこよく解いてみましょう。

【解答】

$$ x = 533333333 $$ とおくと、
$$ 3x + 1 = 1600000000 $$
$$3x = 40000^2 – 1 $$
$$ 3x = (40000 + 1)(40000 – 1) $$
$$ 3x = 〈(200 + 1)^2 – 2 \times 200〉(200 + 1)(200 – 1) $$
$$ 3x = (201 + 20)(201 – 20) \times 201 \times 199 $$
$$ x = 221 \times 181 \times 67 \times 199 $$
$$ x = 13 \times 17 \times 67 \times 181 \times 199 $$

よって、
$$ 533333333 = 13 \times 17 \times 67 \times 181 \times 199$$

こんなふうに解くことができます。
181や199が素数である、という判定はしてくださいね。