こんな問題を考えてみましょう。
式の計算です。
【問題】次の計算をしなさい。
$$(2x^2+2x+3)(2x^2-x+2)$$
分配法則を丁寧に活用して計算する生徒さんが多いかと思います。
$$(2x^2+2x+3)(2x^2-x+2)$$
$$=4x^4-2x^3+4x^2+4x^3-2x^2+4x+6x^2-3x+6$$
$$=4x^4+(4-2)x^3+(4-2+6)x^2+(4-3)x+6$$
$$=4x^4+2x^3+8x^2+x+6$$
こうやって計算していけないわけではないんです。
正しく計算できていますから。
でもちょっと、感覚としては「めんどくさい」と思いますよね。
そこで、ちょっと先回りするような感覚で式を眺めてみたいと思います。
この問題の答、xの何次式になると思いましたか？
「やってみないと分からない」ということでしたら、上記のやり方で進めましょう。
それで何の問題もありませんから。
「いや、こんなのxの4次式でしょ」と見ることができるんなら、「先回り」方式を発動させていいかもしれません。
やり方は単純と言えば単純です。
「xの4次式ということは、以降、xの3乗の項があって、2乗の項があって、1乗の項があって、定数項があって」という構造になるわけです。
本問の答としては、その各項の係数がいくつになるかを押さえればOKですよね。
\(x^4\)はどのように生まれるか？を眺めると、\(2x^2と2x^2\)を掛けて生まれることが分かります。
ほかに\(x^4\)を作る掛け算の組み合わせはありません。なので、その係数は4になります。
\(x^3\)はどうでしょう。これは\(2x^2と-x、2xと2x^2\)を掛けて生まれることが分かります。
ほかに\(x^3\)を作る掛け算の組み合わせはありませんから、その係数は\(-2+4=2\)になります。
以下、xの2乗の項や1乗の項、定数項についても、その次数の項を生み出す掛け算はどこにあるんだ？をチェックし、係数のみを計算するイメージで処理していきます。
すると、やっていることは・・問題の式を見ながら
$$=4x^4+(4-2)x^3+(4-2+6)x^2+(4-3)x+6$$
順次、係数の値のみを書き込んでいっている、ということになります。
係数を暗算できれば幸せですし、分数係数のように暗算が難しくなりそうなら、いつもの方法でやる、と切り分けてOKです。
また、この問題の\(x^2\)の係数のように、その次数の項を作る掛け算の組み合わせが3つ以上になるとストレスに感じる方もあるでしょう。そんなときも無理せずいつも通りでかまいません。私も「疲れてるなぁ」と思うときは、いつも通りの「丁寧な分配法則」で進めることもあります。
そういう意味では、こんなやり方もあるよ、というところですかね。
参考にしてください。