【問題1】
数列\(a_{ n }\)は公差\(d\)の等差数列であり、\(p\)番目の項が\(a_{ p }\)である。
一般項\(a_{ n }\)を、\(a_{ p }\)および\(d\)と自然数\(p\)を用いて示せ。
【問題2】
数列\(b_{ n }\)は公比\(r\)の等比数列であり、\(p\)番目の項が\(b_{ p }\)である。
一般項\(b_{ n }\)を、\(b_{ p }\)および\(r\)と自然数\(p\)を用いて示せ。
この2問を解くことはできますか？
教科書などに多く見られるような、初項\(a_{ 1 }\)、\(b_{ 1 }\) が分かる場合の公式を覚えているだけだと、なかなか難しいのではないかと思います。
あなたはどうでしょう？
【問題1】から。
まず、具体的な数を当てはめて考えてみましょう。公差が2であって、第4項が12であるような等差数列であれば、一般項をどのように考えることができるでしょうか。
たとえば、こんな風に考えることができそうです。
第4項が12なので、公差を考えると第3項は10。
以下、同様にして
第2項は8、第1項は6。
初項\(a_{ 1 }=6\)が分かったので・・
$$ a_{ n }=6+2(n-1) $$
これが、教科書などに出てくる、初項ありきの等差数列の公式ですね。
で、ここから先は、初項の値はなくても（求めなくても）いいでしょ、という話になります。
一応、この式をまとめるだけまとめましょう。
$$ a_{ n }=2n+4 $$
こんな風に答えることになりますね。
さて、この数列ですが、第4項が12であり、公差2であることから
$$ a_{ n }-a_{ 4 }=2(n-4) $$
と記述してみましょう。何を示しているのか・・。
この式を良く眺めてみてください。観察、大事です。
第4項、すなわちn=4のとき、左辺は0も右辺も0です。等号成立ですね。
そして\(a_{ 4 }\)は定数（この場合12ですが、あとで一般化するときに分かりやすいかと思うのでこのように書いておきました）なので、\(a_{ n }\)は、『\(2n+定数\)』で示すことができることが分かります。
また、nが1増えると\(a_{ n }\)は2増えることがしめされており、等差数列\(a_{ n }\)を示す式であると確認できます。
あらためて、n=4のとき、等号成立していたことを思い出してください。
第4項が12であることも満たしていると解釈できます。
つまり、
$$ a_{ n }-a_{ 4 }=2(n-4) $$
こんな形をしていますが、これは等差数列\(a_{ n }\)の一般項を表す式そのものです。
見慣れないだけで・・。
【問題1】に戻りましょう。これは一般形に落とし込んだものです。
公差が2であって、第4項が12 という具体例と考え方は変わりません。
$$ a_{ n }-a_{ p }=d(n-p) $$
と記述できます。
この考え方が身につけば、初項がいくつ？は気になりませんね。
そういう意味では、学校などで習う「初項ありきの公式」は、苦労して覚えるほどの価値は・・という気がします。
なお、この話って何かに似ていると思いませんか？
そう！直線の方程式です。傾きと直線が通る1点の座標情報をもらったときに、同じように考えていたはずです。
数学では、「似たものを思い出す」というのも大事な技術ですよ。
【問題2】は、解答だけつけておきます。
$$ b_{ n } = b_{ p }×r^{ n-p } $$