地図を作るのは誰か

前回、彼は一つのことを確かめた。
「0は1回、1は2回、2は4回……」
という規則は、単なる観察ではなかった。

問題文の

$$
m\le\log_2n<m+1
$$

から、

$$
2^m\le n<2^{m+1}
$$

と書き換えることで、その規則は問題文そのものから導けることが分かった。
そして、この数列は群数列として眺めることができる、ということ。

---

「さて」
私は彼のノートをのぞき込んだ。

「ここまで分かったことを、一度整理してみよう」

彼は少し不思議そうな顔をした。
「まだ整理するんですか」

「もちろん。数学では、規則が見つかったからといって、すぐ計算を始めるとは限らない。その規則を、使いやすい形にしておくことも大切なんだ」

私はノートの余白に表を書いた。

群	元の数列
第1群	0
第2群	1，1
第3群	2，2，2，2
第4群	3，3，3，3，3，3，3，3

彼は表を見つめた。

「群数列ですね」

「そう」
「でも、大事なのは名前じゃない」
「こうやって眺め方を変えることなんだ」
「一つ一つの項を追う代わりに、群というまとまりで見る」
「そうすると、元の数列では見えにくかったものが見えてくることがある」

彼はゆっくりとうなずいた。

「数列を見るんじゃなくて、群を見るんですね」

「そういうことになる。結果として」

---

私は続けた。

「でも、群数列になったから終わりじゃない」
「今度は、その群を調べる」

ノートの余白に書き加えた。

• 群の値
• 群の先頭
• 群の末尾
• 項数
• 群の和

彼は少し驚いたようだった。

「そんなに調べるんですか」

「私は一度、このくらいは見る。全部が役に立つとは限らない」
「でも、それは調べたあとで判断してもいい」
「最初から要らないと決めるより、一度整理しておいた方が安心だからね」

彼は少し笑った。

「最初と同じですね。分からないなら、まず手を動かす」

「覚えていたか」
私も笑った。

「今回も同じなんだ」
「群数列になったら、群を調べる」
「それだけ」

---

「では、第 \(p\) 群を整理してみよう」
「まず、この群に並ぶ値は」

彼は答えた。

$$
p-1
$$

「そう」

「先頭も」

$$
p-1
$$

「末尾も」

$$
p-1
$$

「今回はそうなる」
「でも、それは今回たまたま全部同じ数だからだ」
「群数列によっては、一つの群の中で数が並んでいることもある」
「だから、一応見ておく」

彼はうなずいた。

---

「では、項数は」

「これは前回やりました」

彼は迷わず書いた。

$$
2^{p-1}
$$

「そう。では、この群は元の数列では何番目から始まるかな」

彼は少し考えた。

「一つ前までに何個あるかですね」

彼は式を書いた。 \(p≧2\)に注意して・・

$$
1+2+4+\cdots+2^{p-2}
$$

「等比数列です。その和です」

計算すると、

$$
2^{p-1}-1
$$

「だから、第 \(p\) 群は、数列 \(a_n\) の

$$
2^{p-1}
$$

番目の項から始まります」

「最後は」

「項数が \(2^{p-1}\) 個あるので」

$$
2^p-1
$$

番目です」

「その通り」

---

「最後に、群の和は」

彼はすぐに書いた。

$$
(p-1)\times2^{p-1}
$$

私はノートの余白を整理した。

第 \(p\) 群	内容
群の値	\(p-1\)
群の先頭の値	\(p-1\)
群の末尾の値	\(p-1\)
項数	\(2^{p-1}\) 個
元の数列では	\(2^{p-1}\) 番目から
	\(2^p-1\) 番目まで
群の和	\((p-1)2^{p-1}\)

彼は、その表をしばらく眺めていた。

「これなら、群のことは全部分かりますね」

「そうだね」
「問題を解く前に、ここまで整理しておく」
「それだけで、あとがずいぶん楽になる」

彼はもう一度、自分のノートを見返した。

最初は、数字を書き並べただけだった。
その数字から規則が見えた。
規則を確かめた。
そして今、その規則は一枚の表に整理されている。

景色は、いつの間にか地図になっていた。

「この地図があれば、もう迷わない」

私はノートを閉じた。

「次は、この地図を使って実際に問題を解いてみよう」

お問い合わせページへ