彼はノートを見つめていた。
さっきまで、ただ並んでいるだけだった数字が、今は一枚の地図になっている。
「では」
ア・イ・ウ・エ
「ここからは、この地図を使って問題を解いていこう」
ア
$$
a_{2020}
$$
「まずは2020番目の項が、どの群に入るのかを考えよう」
彼は先ほど整理した表を見た。
「第 \(p\) 群は」
$$
2^{p-1}
$$
番目から始まり、
$$
2^p-1
$$
番目で終わります。
「そう」
「では、2020番目はどこに入るかな」
彼は少し考えた。
「\(2^{10}\) が1024ですね」
「よく知っていたね」
「パソコンでよく見ます」
私は笑った。
「そういう豆知識は、案外役に立つ」
彼は計算を書いた。
第10群の最後は
$$
2^{10}-1=1023
$$
第11群の最後は
$$
2^{11}-1=2047
$$
「2020は、この間にあります」
「つまり、第11群です」
「そう」
「第11群の値は？」
「群番号より1小さいので」
$$
11-1=10
$$
したがって、
ア =\(10\)
イ
「これは前回、もう分かっていたね」
$$
a_n=k
$$
となるのは、
$$
2^k\le n<2^{k+1}
$$
となる場合だった。
したがって、そのような \(n\) の個数は
$$
2^k
$$
だから、
イ =\(2^k\)
ウ
「では、その中で一番大きい \(n\) は？」
彼はすぐに答えた。
「範囲の最後です」
$$
2^{k+1}-1
$$
したがって、
ウ =\(2^{k+1}-1\)
エ
「最後は和だ」
私は、先ほど整理した表をもう一度指さした。
「群ごとの和も、もう求められるようになっている」
彼はうなずいた。
「第10群までなら、和の記号Σを用いれば
$$
\sum_{i=1}^{10}(i-1)2^{i-1}
$$
になります」
「この計算は少し工夫が必要なので、別にまとめておこう」
「これを計算すると・・」
$$
\sum_{i=1}^{10}(i-1)2^{i-1}=8194
$$
「では、その先は？」
彼は少し考えた。
「2020番目までは、第11群を途中まで使います」
「そう」
「第11群は何番目から始まる？」
「1024番目です」
「2020番目まで使うので」
$$
2020-1024+1=997
$$
「つまり、第11群の値である10が997個あります」
したがって、
$$
10\times997=9970
$$
よって、
$$
8194+9970=18164
$$
したがって、
エ =\(18164\)
彼は答えを書き終えた。
「終わりました」
私は問題文をもう一度見た。
「最初、この問題を見たときのことを覚えている？」
彼は苦笑した。
「何をすればいいのか、全然分かりませんでした」
「そうだったね、でも」
私は指を折りながら言った。
「まず、できることをやってみた」
「具体的な数を代入した」
「そこで見えた規則を、問題文に戻って確かめた」
「そして今度は、その規則を群数列という形に整理した」
「最後は、その地図を使って問題を解いた」
彼はノートを見た。
そこには、一枚の表がある。
群の値。
群の項数。
元の数列での位置。
群の和。
最初は複雑に見えていた問題も、一度整理してしまえば、あとはその地図を読むだけだった
数学では、問題を見た瞬間に解き方がひらめくことは、それほど多くない。
だから、手を動かす。
観察する。
見つけた規則を確かめる。
そして、使いやすい形に整理する。
この順番を大切にすれば、霧の中にいたはずの問題も、少しずつ輪郭を現してくれる。
答えを出すことももちろん大切だ。
けれど、それ以上に大切なのは、自分で歩ける地図を作ることなのかもしれない。
その地図は、この問題だけでは終わらない。
作り上げた地図は、足跡の記憶だ。
次に似た景色に出会ったときも、きっと役に立ってくれる。
たとえ、そこが深い霧の中であったとしても。
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