「先生、この問題なんですけど」
そう言って、男子生徒がノートをこちらへ向けた。
$$
a_{n+1}=\sqrt{a_n+3}-1,\qquad a_0=0
$$
このとき、
$$
\lim_{n\to\infty}a_n
$$
を求めよ、という問題だった。
彼は、すでに少し考えている様子だった。
ノートには、こう書かれていた。
$$
a_{n+1}=y,\qquad a_n=x
$$
そして、
$$
y=\sqrt{x+3}-1
$$
「漸化式を関数に見立てたんです」
彼は言った。
「いいね」
私はそう答えた。
漸化式の向こうに、ひとつの関数を見る。
今の値を入れると、次の値が返ってくる。
そういう仕組みとして見立てている。
これは悪くない。
むしろ、かなりいい。
横にいた女子生徒が、ノートをのぞき込んだ。
「つまり、\(x\) を入れたら \(y\) が出るってこと？」
「そう。今回なら、今の値 \(a_n\) を入れると、次の値 \(a_{n+1}\) が出る」
私は、ノートの余白に書いた。
$$
a_{n+1}=f(a_n)
$$
ただし、
$$
f(x)=\sqrt{x+3}-1
$$
である。
男子生徒は続けた。
「で、\(x\) が大きくなっていけば、\(y\) の変化はだんだん小さくなる気がしたんです。ものすごく大きな数どうしを入れて比べたら、出てくる \(y\) の差は小さくなるんじゃないかと。だから、この操作をずっと繰り返していけば、はるか先では \(y=x\)、つまり \(a_{n+1}=a_n\) みたいになるんじゃないかと」
私は少し黙った。
その発想は、よい。
かなりよい。
けれど、少しだけ混ざっているものもある。
大きな \(x\) を入れたとき、関数の値の変化が鈍くなること。
数列を先へ進めたとき、前の項と次の項の差が小さくなること。
それらは近くにある。
けれど、同じではない。
「うん。発想としては自然。でも、数学の言葉にするときに、少し変換がいる」
私はノートに書いた。
$$
\text{大きな }n\text{ で }a_{n+1}=a_n
$$
その下に、もう一つ書いた。
$$
\text{収束するなら、極限値 }L\text{ は }L=f(L)\text{ を満たす}
$$
「この二つは似ている。でも同じではない」
男子生徒は少し考えてから言った。
「実際に、どこかの \(n\) で等しくなるわけじゃない、ってことですか」
「そう」
私はうなずいた。
「少なくとも、どこかの \(n\) でぴたりと
$$
a_{n+1}=a_n
$$
になる、という意味ではない。そこは気をつけた方がいい」
男子生徒は、少し考えていた。
「等しくなるんじゃなくて、近づいていく？」
「そうだね。もしある値に近づいていくなら、その近づいた先では、前の項と次の項の差は消えているはずだ」
だから、答案ではこう書く。
$$
a_n\to L
$$
ならば、
$$
a_{n+1}\to L
$$
でもある。
漸化式
$$
a_{n+1}=\sqrt{a_n+3}-1
$$
の両辺で極限をとれば、
$$
L=\sqrt{L+3}-1
$$
となる。
「先に \(a_{n+1}=a_n\) と置くんじゃなくて、収束先では同じ値になるから、\(L\) についての式になるんですね」
女子生徒が言った。
「そういうこと」
固定点。
ある値を入れると、同じ値が返ってくる点。
今回なら、
$$
L=\sqrt{L+3}-1
$$
を解けばよい。
男子生徒が計算を続けた。
$$
L+1=\sqrt{L+3}
$$
両辺を二乗して、
$$
(L+1)^2=L+3
$$
$$
L^2+2L+1=L+3
$$
$$
L^2+L-2=0
$$
$$
(L+2)(L-1)=0
$$
したがって、
$$
L=1,\ -2
$$
「候補は二つですね」
男子生徒が言った。
「いや、ここで一つは消える」
私は、二乗する前の式を指差した。
$$
L+1=\sqrt{L+3}
$$
「右辺は平方根だから、必ず \(0\) 以上になる。つまり、左辺の \(L+1\) も \(0\) 以上でなければならない」
ところが、
$$
L=-2
$$
だと、
$$
L+1=-1
$$
となる。
二乗したあとの式は満たしても、二乗する前の式は満たさない。
「\(-2\) は二乗したことで出てきた余分な解なんですね」
女子生徒が言った。
「そう。固定点として残るのは \(1\) だけだ」
したがって、収束するとすれば、その極限値は
$$
L=1
$$
である。
「じゃあ、答えは \(1\) ですか」
男子生徒が聞いた。
「まだ、少し早い」
「え、まだですか」
「まだです」
私は笑った。
極限の問題では、つい方程式だけを解いてしまいたくなる。
けれど、方程式が出すのは、あくまで候補である。
その候補に本当に向かっていくのか。
途中でどこかへ逃げていかないのか。
増えたり減ったりして、落ち着かないことはないのか。
そこを確認する必要がある。
「じゃあ、まず何を見ればいいですか」
女子生徒が聞いた。
「範囲だね。今回なら、\(a_n\) がどこにいるのかを見る」
初項は
$$
a_0=0
$$
である。
そして、もし
$$
0\leq a_n<1
$$
だとすると、
$$
3\leq a_n+3<4
$$
だから、
$$
\sqrt3\leq \sqrt{a_n+3}<2
$$
したがって、
$$
\sqrt3-1\leq a_{n+1}<1
$$
となる。
特に、
$$
0<a_{n+1}<1
$$
である。
「つまり、\(0\leq a_n<1\) にいたら、次もまた \(0\leq a_{n+1}<1\) にいる」
「そう」
そして最初の \(a_0=0\) も、この範囲にいる。
だから同じ理屈を順に使っていけば、
$$
0\leq a_n<1
$$
がすべての \(n\) で成り立つ。
「ずっと、\(0\) 以上 \(1\) 未満にいるわけですね」
男子生徒が言った。
「そう。収束先の候補は \(1\) だった。\(0\) から始まって、もし \(1\) に近づいていくのなら、増えていくのではないか。そう見たくなる」
「だから、増加しているかどうかを調べるんですね」
「そう。見立てを確かめる」
私は少し言い直した。
「いや、見立ては確かめる」
そこで、
$$
a_{n+1}-a_n
$$
を調べる。
$$
a_{n+1}-a_n
=\sqrt{a_n+3}-1-a_n
$$
これが正かどうかを知りたい。
ここでは、有理化して符号を見てみる。
$$
a_{n+1}-a_n
=\sqrt{a_n+3}-(a_n+1)
$$
$$
=\frac{(a_n+3)-(a_n+1)^2}{\sqrt{a_n+3}+a_n+1}
$$
$$
=\frac{(1-a_n)(a_n+2)}{\sqrt{a_n+3}+a_n+1}
$$
となる。
いま、
$$
0\leq a_n<1
$$
だから、
$$
1-a_n>0,\qquad a_n+2>0
$$
である。
また、分母
$$
\sqrt{a_n+3}+a_n+1
$$
も正である。
したがって、
$$
a_{n+1}-a_n>0
$$
である。
「増え続けるんですね」
「そう。しかも、さっき見たように、どの項も \(1\) より小さい」
男子生徒が言った。
「単調増加で、上に有界。だから収束する」
「うん。これでようやく、最初の固定点の話が使える」
数列は収束する。
極限を \(L\) とおく。
すると、
$$
a_n\to L
$$
であり、
$$
a_{n+1}\to L
$$
でもある。
漸化式より、
$$
L=\sqrt{L+3}-1
$$
この方程式を解くと、先ほど見たように、固定点として残るのは
$$
L=1
$$
だけである。
したがって、極限値は
$$
L=1
$$
である。
女子生徒が、最初の式をもう一度見た。
「最初の『大きな \(n\) なら \(a_{n+1}=a_n\) っぽい』っていうのは、間違いなんですか」
私は少し考えてから答えた。
「間違いというより、発想の言葉としてはいい。でも、答案の言葉としては粗い」
「粗い」
「そう。実際には、どこまで行っても \(a_{n+1}=a_n\) になるとは限らない。今回なら、あとで確かめたように、ずっと \(a_{n+1}>a_n\) のままだった」
男子生徒がうなずいた。
「でも、差は小さくなる」
「そう」
私はノートの端に、もう一度書いた。
$$
\text{大きな }n\text{ では、}a_{n+1}\text{ と }a_n\text{ はほとんど同じになるはず}
$$
その下に、もう一つ書く。
$$
\text{収束するなら、極限値 }L\text{ は }L=f(L)\text{ を満たす}
$$
「上が発想。下が答案」
教室が少し静かになった。
数学では、最初からきれいな言葉で考えられるとは限らない。
むしろ、最初はもっと曖昧でよい。
大きくなったら、前と次はほとんど同じではないか。
落ち着くなら、その場所ではもう動かないのではないか。
だったら、\(y=x\) との交点を見ればよいのではないか。
そういう見立てが、まずある。
ただ、その見立てを答案にするときには、少し姿を整える。
「はるか先で等しくなる」
ではなく、
「収束するとすれば、その極限値は固定点方程式を満たす」
と書く。
そして、そのあとに、
「実際に収束する」
ことを示す。
今回なら、
$$
0\leq a_n<1
$$
で上に抑えられ、
$$
a_{n+1}>a_n
$$
で増え続ける。
だから収束する。
その収束先は、
$$
1
$$
である。
男子生徒がノートの端に、小さく書いた。
発想：前後がほぼ同じ
答案：極限値は固定点
私はそれを見て、少しうれしくなった。
数学の答案は、最初から頭の中に完成品として現れるわけではない。
たいていは、もっとぼんやりした直感から始まる。
その直感を捨てなくていい。
ただ、直感のまま提出してしまうと、少し危うい。
だから、橋を架ける。
「そう見える」から、
「そう言える」へ。
発想が、答案の言葉に変わる瞬間。
その少し手前にある、まだ形の粗い理解。
それを信じすぎず、捨てすぎず、確かめる方へ歩く。
私は、その判断を大事にしてほしいと思っている。