第1章 円卓は回っても、人間関係は回らない
円卓は回る。しかし、何が回っているのだろう。
高校生四人が放課後、ファミリーレストランに入った。
案内されたのは丸いテーブルだった。
席に着くなり、A君が言う。
「この席、いいな」
理由を聞くと、左になんとなく思いを寄せる女の子がいて、右にも気心の知れた友人がいるからだという。
そのとき店員さんがやって来て、テーブルを少し回したとする。
すると、見えている景色は変わる。窓の位置も変わるし、店内の見え方も変わる。
けれどA君は困らない。
左には相変わらず「あの人」がいて、右にも同じ友人がいる。
その関係は何も変わっていないからだ。
円順列という数学は、実はこの「何が変わり、何が変わらないか」を扱う単元なのだと思う。
私たちは普段、「見た目の違い」に引きずられやすい。
A・B・C・Dと並んでいるのと、B・C・D・Aと並んでいるのは別物に見える。
しかし円卓の上では、その違いは本質ではない。
テーブルを少し回せば同じ状態になるからだ。
数学を学ぶ者は、そうした表面的な違いを取り除こうとする。
そして最後に残るものだけを見ようとする。
円順列を学び始めたばかりの頃、多くの人は公式として
(n−1)!
を覚える。
もちろん間違いではない。
実際、それが答えになる。
けれど私は、その式だけを見ると少し惜しい気持ちになる。
なぜなら、その背後にある物語が消えてしまうからだ。
本当は最初、
n!
通りの並び方がある。
ところが円卓では、同じ配置を何度も数えてしまう。
n人なら、同じ状態が回転によって n 回現れる。
だから n で割る。
つまり、
n! ÷ n
とみる。
この式には、「何を重複して数えてしまったのか」という理由が残っている。
理解とは、答えそのものばかりではなく、なぜその答えになるのかという景色を見ることなのだと思う。
面白いのは、問題をたくさん解くようになると、今度は別の景色が見えてくることだ。
問題演習の最中、私はあまり
n! ÷ n
とは考えない。ついさっきまで、その考え方を勧めていたにもかかわらず、だが。
頭の中で一人を捕まえる。
「君はそこから動かないで」
そう言ってA君を固定する。
すると円卓は突然おとなしくなる。
回転という厄介な自由が消える。
そうすると、残りの人を自由に並べればよいので、
(n−1)!
が自然に現れる。
円状に並ぶ並び方は網羅できていることは確認して欲しい。
そして先ほどの
n!/n
と、答が一致していることも。
これで、公式の暗記ではなくなったことだと思う。
見方の変化である。
最初は「同じものを何回数えたか」を考えていた。
やがて「どうやって回転を止めるか」を考えるようになる。
どちらも正しい。
ただ、見ている方向が違う。
数学を学んでいると、こういうことがよくある。
答えは変わらない。
けれど景色が変わる。
本当の理解というのは、公式を覚えた瞬間ではなく、その景色の違いに気づいた瞬間に訪れるのかもしれない。
第2章 二人は、ひとりになる
円順列の問題を解いていると、ときどき不思議な指示が現れる。
「AさんとBさんが必ず隣り合うように座るとき」
という条件である。
教室でこの問題を出すと、生徒たちは少し戸惑う。
さっきまで一人ひとりを数えていたのに、急に「隣り合う」という条件が加わるからだ。
AさんはAさん。
BさんはBさん。
本来なら別々の人間である。
こういう場面では、少し大胆になって声をかけてみよう。
AさんとBさんへ。
「二人とも、しばらく一緒にいてください」
すると不思議なことが起きる。
AさんとBさんは、ひとつの塊になる。
もちろん実際には二人である。
けれど問題を解くあいだだけは、一人として扱うのである。
私はこの発想が好きだ。
なぜなら、数学とは数を扱う学問であると同時に、「何を見るか」を決める学問でもあるからだ。
たとえば六人が円卓に座るとする。
そこにAさんとBさんがいる。
普通に見れば六人だ。
しかしAさんとBさんをひとつの塊と考えた瞬間、世界は少し違って見えてくる。「AB」という一つの存在。
そして残り四人。
全部で五つのユニットである。
第1章で見たように、円順列では回転を止めればよい。
だから五つのユニットを円卓に並べる方法は
(5−1)!
通りになる。
だが話はまだ終わらない。
塊の中では、
「AB」
という並び方もあれば、
「BA」
という並び方もある。
外から見ると同じ塊なのに、内側では二つの姿がある。
まるで双子のようだ。
だから最後に2倍する。
こうして答えが得られる。
計算としては、それだけのことである。
けれど私は、この解法を初めて知ったとき、少し面白い気持ちになった。
人数を減らしたわけではない。
AさんもBさんも消していない。
ただ見方を変えただけなのである。
別々だった二人を、一時的にひとつとして見る。
そうすることで複雑だった問題が急に整理される。
現実の人間関係でも、似たことがあるかもしれない。
親子として見る。
夫婦として見る。
チームとして見る。
会社として見る。
ひとりひとりを眺めていると見えなかったものが、まとまりとして見た瞬間に見えてくることがある。
もちろん現実は数学ほど単純ではない。
人は塊になどならない。
それぞれが別々の人生を持っている。
けれど物事を理解しようとするとき、ときには細部から離れて眺めることも必要なのだろう。
円順列の問題は、ただ座り方を数えているだけではない。
何を一つと見なし、何を別々と見るか。
その視点の選び方を教えてくれているように思う。
第1章では、回転しても変わらないものを探した。
第2章では、別々だった二人を一つとして眺めてみた。
円順列を学んでいるだけのはずなのに、いつの間にか「どう見るか」を考えている。
誰が誰の隣にいるのかを数えていたはずなのに、いつの間にか世界の眺め方の話になっている。
数学とは、そういうところのある学問なのだろうと思う。