机に向かい、ある一問を解き始めた。
このとき、
$$
x^4-2(s+t)x^2+(s-t)^2=0
$$
の解 \(x\) の取りうる範囲を求めよ。
–東京大学 2005年より
四次方程式ではある。
しかし、現れているのは偶数次だけだ。
ならば、
$$
A=x^2
$$
とおいてみる。
式は
$$
A^2-2(s+t)A+(s-t)^2=0
$$
となる。
ここまでは、ごく自然である。
さて、この二次方程式をどう眺めるか。
私は最初から、グラフを描いて考えるつもりだった。
$$
y=A^2-2(s+t)A+(s-t)^2
$$
という放物線として見る。
平方完成すると、
$$
y=\{A-(s+t)\}^2-4st
$$
頂点は
$$
(A,y)=\left(s+t,\,-4st\right)
$$
と分かる。
まず気になったのは、頂点の横座標だった。
\(s+t\) はどこまで動くのだろう。
最小値はすぐ分かる。
どちらかが1、もう一方が0なら、
$$
s+t=1
$$
である。
最大値はいくつか求め方がある。
単位円の第一象限と直線 \(s+t=c\) を考えてもよいし、三角関数で置き換えてもよい。
私は、この日は不等式を使った。
$$
(s+t)^2\le2(s^2+t^2)=2
$$
より、
$$
1\le s+t\le\sqrt2
$$
となる。
頂点は横方向には
$$
A=1
$$
から
$$
A=\sqrt2
$$
まで動くわけだ。
ここで、いったん式から離れた。
まず、\(A-y\) 平面に二つの放物線を描いてみる。
一つは
$$
s+t=1
$$
のとき。
この放物線は、\(A=1\) でちょうど \(A\) 軸に接する。
もう一つは
$$
s+t=\sqrt2
$$
のとき。
頂点は右へ移動し、大きく下へ沈み、交点は
$$
A=0,\qquad A=2\sqrt2
$$
になる。
二枚のグラフを見比べる。
すると、不思議なくらい自然に思えた。
「この間を動くんだろうな。」
頂点は右へ動きながら下へ沈む。
だったら左の交点は左へ、右の交点は右へ広がる。
そんなふうにしか見えなかった。
しかし、少しだけ気になった。
本当にそう言ってよいのだろうか。
二枚のグラフだけ見て、その間まで分かったことになるのだろうか。
もう一度、式へ戻る。
$$
(s+t)^2=s^2+t^2+2st=1+2st
$$
だから、
$$
st=\frac{(s+t)^2-1}{2}
$$
となる。
ここで景色が変わった。
横方向と縦方向が、それぞれ勝手に動いていると思っていた放物線は、そうではなかった。
横位置が決まれば、沈み込みまで決まる。
放物線は、一つの量だけで姿を変えていたのである。
そこで
$$
u=s+t
$$
とおく。
すると
$$
1\le u\le\sqrt2
$$
であり、
$$
y=(A-u)^2-2(u^2-1)
$$
となる。
交点は
$$
A=u\pm\sqrt{2u^2-2}
$$
である。
大きい方と小さい方に分けて調べる。
小さい方は
$$
A_1=u-\sqrt{2u^2-2}
$$
大きい方は
$$
A_2=u+\sqrt{2u^2-2}
$$
である。
端を調べると、
$$
u=1
$$
ではどちらも \(1\)。
$$
u=\sqrt2
$$
では
$$
A_1=0,\qquad
A_2=2\sqrt2
$$
となる。
評価を進めながら、思わず笑ってしまった。
最初に二枚のグラフを見比べたときの印象が、そのまま式になっていただけだった。
「当たり前じゃん」が私に帰ってきたような気がした。
もちろん、答案では最後に一言添える。
「グラフを見る限りそう見える」でも、「当たり前じゃん」でもない。
「実際にそう動く」と書かなければならない。
交点は
$$
A=u+\sqrt{2u^2-2}
$$
と
$$
A=u-\sqrt{2u^2-2}
$$
である。
前者は単調に増加し、後者は単調に減少する。
最初にグラフから受けた印象が、数学の言葉になった。
途中で戻ることはない。
以上より、
$$
0\le A\le2\sqrt2
$$
となる。
もともと
$$
A=x^2
$$
とおいていたから、
$$
-\sqrt{2\sqrt2}\le x\le\sqrt{2\sqrt2}
$$
が求める範囲である。
問題は解けた。
あとになって思う。
数学では、式変形が注目されることが多い。
けれど、この問題で最初に私がしようとしたことは、計算ではなかった。
二枚のグラフを描き、見比べたいと思ったのだ。
その二枚は答えを知っていた。
一方で私は、その意味を少しずつ理解していった。
そして最後に、グラフが語っていたことを、式が静かに約束してくれた。